% bac2021gen-fr-septembre-sujet2-exo3.tex \begin{center}\textbf{Partie I}\end{center} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = x - \text{e}^{-2x}.\] % On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \item Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie II}\end{center} Dans le repère orthonormé $\Rij$, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = \text{e}^{-x}.\] % La courbes $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la \textbf{Partie I}) sont tracées sur le \textbf{graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.} \smallskip Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine $O$ du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t;\text{e}^{-t}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$. On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance $OM$. On a donc: $h(t) = \text{O}M$, c'est-à-dire : \[h(t) = \sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $t$, \[h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}\] où $f$ désigne la fonction étudiée dans la \textbf{Partie I}. \item Démontrer que le point A de coordonnées $\left(\alpha;\text{e}^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale. Placer ce point sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \item On appelle $T$ la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$. On rappelle que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal à $\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha}$. On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration : \emph{Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.} \item Démontrer que la droite $(OA)$ et la tangente $T$ sont perpendiculaires. Tracer ces droites sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.} \end{enumerate} \end{enumerate}