% bac2021gen-fr-juin-sujet2-exo5.tex \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la \textbf{fonction dérivée} $f'$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$. À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses : \begin{enumerate} \item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. \item La convexité de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=1.25cm,y=1.25cm,xmin=-2,xmax=4,ymin=-2,ymax=4] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \foreach \x in {-1,0,1,2,3} \draw[line width=1.25pt] (\x,4pt) -- (\x,-4pt) node[below left] {$\num{\x}$} ; \AxeyTikz{-1,1,2,3} \draw[line width=1.25pt,->,>=latex] (0,0)--(0,1); \draw[line width=1.25pt,->,>=latex] (0,0)--(1,0); \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[red,very thick,samples=250,domain=\xmin:\xmax] plot (\x,{(-\x-1)*exp(-\x)}) ; \draw[line width=1.25pt,fill=white] (0.5,1.75) rectangle (3.5,2.75) node[midway,font=\scriptsize] {\parbox{3.5cm}{Courbe représentant la \textbf{dérivée} $f'$ de la fonction $f$.}} ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la \textbf{Partie I} est définie sur $\R$ par : \[ f(x)=(x+2)\e^{-x}. \] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, \[ f(x)=\dfrac{x}{\e^x}+2\e^{-x}. \] En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l’on précisera. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$. \item Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. \item Montrer que l’équation$f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\intervFF{-2}{1}$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l’expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$. Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point $A$ d’abscisse $0$ ? \end{enumerate}