% bac2021gen-fr-juin-sujet1-exo4.tex Dans un repère orthonormé $\Rijk$, on considère : \begin{itemize} \item le point $A$ de coordonnées $(1;3;2)$ ; \item le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ ; \item la droite $d$ passant par l'origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur $\vect{u}$. \end{itemize} Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d'étudier quelques propriétés de ce point. \smallskip On pourra s'appuyer sur la figure ci-dessous pour raisonner au fur et à mesure des questions. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=1.2cm,>=stealth',font=\large] \clip (-2,-3.15) rectangle (4,2.5) ; \draw[thick,->] (-2,0)--(4,0) ; \draw[thick,->] (0,-3.5)--(0,3) ; \draw[very thick,->] (0,0)--(0,1) node[left] {$\vect{k}$}; ; \draw[thick] (0,0)--(-125:4) ; \draw[very thick,->] (0,0)--(-125:1.1) node[left] {$\vect{\imath}$}; \draw[thick,fill=white] (0,0)--(2.25,1.5)--(2.4,-0.8)--(0.75,-1.5)--cycle ; \draw[thick,red,samples=2,domain=-2:4] plot (\x,{-2*\x}) ; \draw[red] (1.65,-3) node[above] {$d$} ; \draw[very thick,->,densely dashed] (0,0)--(1,0) node[above] {$\vect{\jmath}$}; \draw[thick,densely dashed] (1,0)--(2.3,0) ; \draw[thick] (2.25,1.5)--(0.75,-1.5); \draw[thick,densely dashed] (0,0)--(2.4,-0.8); \draw[very thick,->] (0,0)--(0.35,-0.7) node[right] {$\vect{u}$}; \foreach \Point/\Nom/\Pos in {(0,0)/O/below left,(2.25,1.5)/A/above,(2.4,-0.8)/{A'}/below,(0.75,-1.5)/{M_0}/left}% \filldraw \Point circle[radius=2pt] node[\Pos] {$\Nom$} ; \foreach \x in {-1,2,3} \draw[thick] (\x,3pt)--(\x,-3pt) ; \foreach \y in {-3,-2,-1,2} \draw[thick] (3pt,\y)--(-3pt,\y) ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. \item Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t;t;0)$. \begin{enumerate} \item On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que : \[ AM^2 = 2t^2-8t+14. \] \item Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2;2;0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal. \end{enumerate} \item Démontrer que les droites $\big(AM_0\big)$ et $d$ sont orthogonales. \item On appelle $A'$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d'équation cartésienne $z = 0$. Le point $A'$ admet donc pour coordonnées $(1;3;0)$. Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\big(AA'M_0\big)$ le plus proche du point $O$, origine du repère. \item Calculer le volume de la pyramide $OM_0A'A$. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base. \end{enumerate}