% bac2021gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex \textbf{Partie A :} \medskip Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. On possède un test de dépistage de cette maladie. On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise. On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne. Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées. \begin{enumerate} \item Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n+1)$. \item \begin{enumerate} \item Prouver que $P(X_n=1)=0,95^n$. \item Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant : % \begin{center} \begin{tblr}{hlines,vlines,width=7.5cm,colspec={X[c]X[c]X[c]}} $x_i$ & $1$ & $n+1$ \\ $P(X_n=x_i)$ & & \\ \end{tblr} \end{center} \end{enumerate} \item Que représente l’espérance de $X_n$ dans le cadre de l’expérience ? Montrer que $\mathbb{E}\left(X_n\right) = n+1 - n \times 0,95^n$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B :} \smallskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{20}{+\infty}$ par $f(x)=\ln(x)+x\,\ln(0,95)$. Montrer que $f$ est décroissante sur $\intervFO{20}{+\infty}$. \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. \item Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervFO{20}{+\infty}$. Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution. \item En déduire le signe de $f$ sur $\intervFO{20}{+\infty}$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C :} \medskip On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la \textbf{partie A}, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus. La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que $\mathbb{E}\left(X_n\right) < n$. \smallskip En utilisant la \textbf{partie B}, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.