% bac2021gen-ce-juin-sujet2-exo3.tex $ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$. Il existe donc $a \in \intervFF{0}{1}$ tel que $\vect{CJ} = a \vect{CG}$. On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$. On note $K$ et $L$ les points d’intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$. On se place dans le repère $\big(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\big)$. \medskip \textbf{Partie A :} Dans cette partie $a=\dfrac23$ \smallskip \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1,font=\small] \tkzDefPoint(0,0){A}\tkzDefPoint(4,0){B}\tkzDefPoint(0,4){E}\tkzDefPoint(4,4){F} \begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(2,1.6){D}\end{scope} \begin{scope}[shift=(B)]\tkzDefPoint(2,1.6){C}\end{scope} \begin{scope}[shift=(E)]\tkzDefPoint(2,1.6){H}\end{scope} \begin{scope}[shift=(F)]\tkzDefPoint(2,1.6){G}\end{scope} \begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(0,2.667){K}\end{scope} \begin{scope}[shift=(C)]\tkzDefPoint(0,2.667){J}\end{scope} \begin{scope}[shift=(C)]\tkzDefPoint(0,1.333){P}\end{scope} \begin{scope}[shift=(D)]\tkzDefPoint(0,1.333){L}\end{scope} \tkzDefMidPoint(A,H) \tkzGetPoint{I} \tkzInterLL(K,L)(C,G) \tkzGetPoint{W} \tkzDefLine[parallel=through W](K,L) \tkzGetPoint{W'} \tkzDrawLine[line width=1pt](W,W') \tkzDefLine[parallel=through K](L,K) \tkzGetPoint{K'} \tkzDrawLine[line width=1pt](K,K') \tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](K,W) \tkzDrawPolygon[line width=1pt,brown,fill=brown!25](K,L,J,F) \tkzDrawPolygon[line width=1pt](A,B,F,E) \tkzDrawPolygon[line width=1pt](B,C,G,F) \tkzDrawPolygon[line width=1pt](E,F,G,H) \tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](A,D) \tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](D,C) \tkzDrawSegment[line width=1pt,dashed](H,D) \tkzMarkSegments[mark=||,size=4pt](C,P P,J J,G) \tkzDrawPoints[fill=blue,size=3.5](A,B,E,F,C,D,G,H,I,J,K,L,P) \tkzLabelPoints[left](D) \tkzLabelPoints[above left](K) \tkzLabelPoints[below right](L) \tkzLabelPoints[right](C,P,J) \tkzLabelPoints[above](G,H,E,F) \tkzLabelPoints[below](I,A,B) \draw(-1.5,2.25) node{$(d)$} ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac23\right)$ est le point $K$. \item Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme. \item Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange. \item Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré ? \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B : Cas général} \medskip On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont : $K\left(0;0;1-\dfrac{a}{2}\right)$ et $L\left(0;1;\dfrac{a}{2}\right)$. On rappelle que $a \in \intervFF{0}{1}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$. \item Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme. \item Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK $soit un losange ? Justifier. \item Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier. \end{enumerate}