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% bac2021gen-ce-juin-sujet1-exo5.tex \textbf{Partie A :} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ g(x)=2\e^{-\frac13x}+\dfrac23x-2. \] \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ : \[ g'(x)=-\dfrac23 \e^{-\frac13x}+\dfrac23. \] \item En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\R$. \item Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B :} \begin{enumerate} \item On considère l’équation différentielle : \[ (E) \quad : \quad 3y'+y=0. \] Résoudre l’équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point $M(0;2)$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=2\e^{-\frac13x} \] et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. \begin{enumerate} \item Montrer que la tangente $(\Delta_0)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M(0;2)$ admet une équation de la forme : \[ y=-\dfrac23x+2. \] \item Étudier, sur $\R$, la position de cette courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $(\Delta_0)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C :} \begin{enumerate} \item Soit $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$, $a$ réel quelconque. Montrer que la tangente $(\Delta_a)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ coupe l’axe des abscisses en un point $P$ d’abscisse $-3$. \item Expliquer la construction de la tangente $(\Delta_{-2})$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d’abscisse $-2$. \end{enumerate}
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