% bac2021gen-asie-juin-sujet2-exo5.tex Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1; +\infty[$ par \[f(x) = x - \ln (x - 1).\] % On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$. \bigskip \textbf{Partie I :} \medskip La feuille de calcul ci-dessous a permis d'obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. \begin{center} %TABLEUR \begin{tikzpicture} \tableur*[10]{A/4cm,B/4cm} \celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$} \celtxt*[align=center]{B}{1}{$u_n$} \foreach \A in {2,3,...,10}{% \xdef\nba{\inteval{\A-2}}% \celtxt*[align=center]{A}{\A}{$\nba$} } \foreach \L/\V in {2/10,3/\num{7,80277542},4/\num{5,88544474},5/\num{4,29918442},6/\num{3,10550913},7/\num{2,36095182},8/\num{2,0527675},9/\num{2,00134509},10/\num{2,0000009}}{% \celtxt*[align=center]{B}{\L}{\V} } \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ? \item À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la le calcul des valeurs approchées limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \textbf{Partie II :} \medskip On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]1; +\infty[$ par \[f(x) = x - \ln (x - 1).\] \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}$. \item En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]1; +\infty[$, complété par les limites. \item Justifier que pour tout $x \geqslant 2$, $f(x) \geqslant 2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie III :} \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats de la partie \textbf{II}, démontrer par récurrence que $u_n \geqslant 2$ pour tout entier naturel $n$. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \item On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$. \end{enumerate}