% bac2021gen-asie-juin-sujet2-exo4.tex Dans cet exercice, on s'intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres. Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l'écart entre sa taille et la taille maximale. \bigskip \textbf{Partie I : modèle discret} \medskip Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$~mètre. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l'observation. On a ainsi $u_0 = 1$. Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l'égalité : \[u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20 - u_n\right) \text{ pour tout entier naturel } n.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_1 = 1,95$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$. \item On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = 20 - u_n$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20 - 19 \times 0,95^n$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \textbf{Partie II : modèle continu} \medskip Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour. D'après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l'équation différentielle \[(E) \qquad y' = 0,05(20 - y)\]% où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée. Soit la fonction $L$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par \[L(t) = 20 - 19\e^{-0,05t}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu'on a également $L(0) = 1$. \item On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L'$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant $t$. \begin{enumerate} \item Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$. \item Calculer la limite de la fonction dérivée $L'$ en $+\infty$. Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l'exercice ? \end{enumerate} \end{enumerate}