% bac2021gen-asie-juin-sujet1-exo4.tex \textbf{Partie I : lectures graphiques} \medskip $f$ désigne une fonction définie et dérivable sur $\R$. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=3cm,xmin=-7,xmax=7,ymin=-0.8,ymax=1.2,xgrille=1,ygrille=0.2] \GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0] \AxexTikz[Police=\small]{-7,-6,...,6} \AxeyTikz[Police=\small]{1} \draw[line width=1.25pt,red,domain=\xmin:\xmax,samples=2000] plot (\x,{(2*\x+1)/(\x*\x+\x+2.5)}); \draw (0,1) node[above,red] {Courbe de la fonction dérivée $f'$} ; \end{tikzpicture} \end{center} \emph{Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes} \begin{enumerate} \item Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $O$. \item \begin{enumerate} \item Donner les variations de la fonction dérivée $f'$. \item En déduire un intervalle sur lequel $f$ est convexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II : étude de fonction} \medskip La fonction $f$ est définie sur $\R$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right).\] \begin{enumerate} \item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Déterminer une expression $f'(x)$ de la fonction dérivée de $f$ pour tout $x \in \R$. \item En déduire le tableau des variations de $f$. On veillera à placer les limites dans ce tableau. \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2};+ \infty\right[$. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. \end{enumerate} \item La fonction $f'$ est dérivable sur $\R$. On admet que, pour tout $x \in \R$, $f''(x) = \dfrac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \dfrac{5}{2}\right)^2}$. Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de $f$. \end{enumerate}