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% bac2021gen-asie-juin-sujet1-exo3.tex Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes). Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac. On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle \textbf{et} d'une consonne. \begin{enumerate} \item Un joueur extrait simultanément deux lettres du sac. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de tirages possibles. \item Déterminer la probabilité que le joueur gagne à ce jeu. \end{enumerate} \end{enumerate} Les questions 2. et 3. de cet exercice sont indépendantes. Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à $\dfrac{3}{7}$. \begin{enumerate}[resume] \item Pour jouer, le joueur doit payer $k$ euros, $k$ désignant un entier naturel non nul. Si le joueur gagne, il remporte la somme de $10$ euros, sinon il ne remporte rien. On note $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur (c'est-à-dire la somme remportée à laquelle on soustrait la somme payée). \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $G$. \item Quelle doit être la valeur maximale de la somme payée au départ pour que le jeu reste favorable au joueur ? \end{enumerate} \item Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants. \item Calculer $P(X \geqslant 5)$ en arrondissant à $10^{-3}$. Donner une interprétation du résultat obtenu. \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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