% bac2021gen-asie-juin-sujet1-exo2.tex On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 8~cm et de centre $\Omega$. \smallskip Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par $\vect{{AP}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AB}}$ ; $\vect{{AQ}} = \dfrac{3}{4}\vect{{AE}}$ et $\vect{{FR}} = \dfrac{1}{4}\vect{{FG}}$. \smallskip On se place dans le repère orthonormé $\left({A};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \dfrac{1}{8}\vect{{AB}}$ ; $\vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{{AD}}$ et $\vect{k} = \dfrac{1}{8}\vect{{AE}}$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.85cm,y=0.85cm,line width=1pt,line join=bevel,>=latex] %arêtes \draw (0,1.7)--(6.5,0)--(6.5,7.2)--(0,8.9)--cycle ; %BCGF \draw (6.5,0)--(10,2.6)--(10,9.8)--(6.5,7.2)--cycle ; %CDHG \draw (10,9.8)--(3.5,11.5)--(0,8.9) ; %HEF \draw[dashed] (0,1.7)--(3.5,4.3)--(3.5,11.5) ; %BAE \draw[dashed] (3.5,4.3)--(10,2.6) ; %AD \draw[dashed] (3.5,4.3)--(6.5,7.2) ; %AG \draw[dashed] (3.5,11.5)--(6.5,0) ; %EC %vecteurs \draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.0625,3.975) ; \draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(4.3125,4.0875) ; \draw[->,line width=1.25pt] (3.5,4.3)--(3.5,5.2) ; %labels simples \foreach \Point/\Nom/\Pos in {(0,1.7)/B/below,(6.5,0)/C/below,(6.5,7.2)/G/above,(0,8.9)/F/above,(10,2.6)/D/right,(10,9.8)/H/above,(3.5,11.5)/E/above,(3.5,4.3)/A/below} \draw \Point node[\Pos] {\Nom} ; %labels "dot" \foreach \Point/\Nom/\Pos in {(5,5.73)/$\Omega$/right,(0.88,2.35)/P/above,(3.5,9.7)/Q/left,(1.625,8.475)/R/above} \filldraw \Point circle[radius=2pt] node[\Pos] {\Nom} ; %labels vecteurs \foreach \Vecteur/\Nom/\Pos in {(3.0625,3.975)/$\vect{\imath}$/above,(4.3125,4.0875)/$\vect{\jmath}$/above,(3.5,5.2)/$\vect{k}$/left} \draw \Vecteur node[\Pos] {\Nom} ; \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point $R$ sont $(8;2;8)$. Donner les coordonnées des points $P$ et $Q$. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1;-5;1)$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$. \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $x - 5y + z - 6 = 0$. \end{enumerate} \textbf{Partie II} \medskip On note $L$ le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(PQR)$. \begin{enumerate} \item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont $(4;4;4)$. \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan $(PQR)$ et passant par $\Omega$. \item Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{14}{3}; \dfrac{2}{3};\dfrac{14}{3}\right)$ \item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(PQR)$. \end{enumerate}