🥨 Code source LaTeX par exercice

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% bac2021gen-asie-juin-sujet1-exo1.tex En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte \num{1000}~abonnés à son profil. On modélise le nombre d'abonnés ainsi: chaque année, elle perd 10\,\%de ses abonnés auxquels s'ajoutent $250$ nouveaux abonnés. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés à son profil en l'année $(2020 + n)$, suivant cette modélisation. Ainsi $u_0 = \num{1000}$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Justifier que pour tout entier naturel $n,$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$. \item La fonction \textsf{Python} nommée \og suite \fg{} est définie ci-dessous. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par \texttt{suite(10)}. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def suite(n) : u = 1000 for i in range(n) : u = 0,9*u + 250 return u \end{CodePythonLstAlt} \item \begin{enumerate} \item \hfuzz\maxdimen Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, ${u_n \leqslant \num{2500}}$. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par $v_n = u_n - \num{2500}$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial ${v_0 = \num{- 1500}}$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : \[u_n = - \num{1500} \times 0,9^n + \num{2500}.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera \num{2200}. Déterminer cette année. \end{enumerate}
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