% bac2021gen-amnord-mai-sujet1-exo3.tex \textbf{Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1,font=\small] \tkzDefPoint(0,0){A}\tkzDefPoint(4,-0.5){B}\tkzDefPoint(0,4.0311){E}\tkzDefPoint(4,3.5311){F} \begin{scope}[shift=(A)]\tkzDefPoint(1.5,1){D}\end{scope} \begin{scope}[shift=(B)]\tkzDefPoint(1.5,1){C}\end{scope} \begin{scope}[shift=(E)]\tkzDefPoint(1.5,1){H}\end{scope} \begin{scope}[shift=(F)]\tkzDefPoint(1.5,1){G}\end{scope} \tkzDefMidPoint(A,E) \tkzGetPoint{K} \tkzDefMidPoint(E,F) \tkzGetPoint{I} \tkzDefMidPoint(B,C) \tkzGetPoint{J} \tkzDrawPolygon[gray,fill=lightgray!15,line width=1pt](A,B,F,E) \tkzDrawPolygon[gray,fill=lightgray!15,line width=1pt](B,C,G,F) \tkzDrawPolygon[gray,fill=lightgray!15,line width=1pt](E,F,G,H) \tkzDrawSegment[gray,line width=1pt,dashed](A,D) \tkzDrawSegment[gray,line width=1pt,dashed](D,C) \tkzDrawSegment[gray,line width=1pt,dashed](H,D) \tkzDrawSegment[line width=1.5pt,densely dashed](K,H) \tkzDrawSegment[line width=1.5pt](A,I) \tkzDrawSegment[line width=1.5pt,densely dashed](I,J) \tkzDrawPoints[size=4](A,B,E,F,C,D,G,H,K,I,J) \tkzLabelPoints[left](A,E,K) \tkzLabelPoints[right](G,C) \tkzLabelPoints[above](F,H,I) \tkzLabelPoints[above right](D) \tkzLabelPoints[below right](B,J) \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left( A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE} \right)$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. \item Montrer que les vecteurs $\vect{IJ}$, $\vect{AE}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires. \end{enumerate} \end{enumerate} On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation $x+3y-2z+2=0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous : \[ d_1 \: : \: \begin{dcases} x = 8+t \\ y=8-2t \\ z=-2+3t \end{dcases}, \: t \in \R \quad \text{ et } \quad d_2 \: : \: \begin{dcases} x = 4+t \\ y=1+t \\ z=8+2t \end{dcases}, \: t \in \R. \] \begin{enumerate}[resume] \item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse. \item Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. \item Montrer que le point $L(4;0;3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5;3;1)$ sur le plan $\mathcal{P}$. \end{enumerate}