% bac2021gen-amnord-mai-sujet1-exo1.tex \textit{Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.} \medskip Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants : \begin{itemize} \item si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ; \item si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test). \end{itemize} On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On note $D$ l’événement « l’athlète est dopé » et $P$ l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement $D$ est égale à $0,08$. \begin{enumerate} \item Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré. \item Démontrer que $P(T)=0,083$. \item \begin{enumerate} \item Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ? \item Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’événement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$. Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$. \begin{enumerate} \item Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés. \begin{enumerate} \item Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres. \item Calculer l’espérance $\mathbb{E}(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. \item Quelle est la probabilité qu’au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ? \end{enumerate} \item Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier. \end{enumerate}