% bac2021gen-all-mars-sujet2-exo5.tex \textbf{Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : $g(x)=\ln(x)+2x-2$. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $0$. \item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ \item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \textbf{Partie II : Étude d'une fonction \boldmath$f$\unboldmath} \medskip On considère la fonction $f$, définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : $f(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\big(\ln(x)-1\big)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $f'$ sa dérivée. Démontrer que, pour tout $x$ de $\intervOO{0}{+\infty}$, on a : \[f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}.\] \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Le calcul des limites n’est pas demandé. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \textbf{Partie III : Étude d’une fonction $\bm{F}$ admettant pour dérivée la fonction $\bm{f}$} \medskip On admet qu’il existe une fonction $F$ dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ dont la dérivée $F'$ est la fonction $f$. Ainsi, on a : $F'=f$. \smallskip On note $\mathcal{C}_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $\Rij$. \smallskip On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $F$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \item La courbe représentative $\mathcal{C}_F$ de $F$ admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ? Justifier la réponse. \end{enumerate}