🥨 Code source LaTeX par exercice

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% bac2021gen-all-mars-sujet2-exo2.tex On considère les suites $\suiten$ et $\suiten[v]$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[\left\lbrace\begin{array}{r@{\:\:=\:\:}l} u_0&v_0=1\\u_{n+1}&u_n+v_n\\v_{n+1}&2u_n+v_n \end{array}\right.\] Dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites $\suiten$ et $\suiten[v]$ sont strictement positives. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculez $u_1$ et $v_1$. \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geqslant 1$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n \geqslant n+1$. \item En déduire la limite de la suite $\suiten$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier naturel $n$ : \[r_n=\dfrac{v_n}{u_n}.\] On admet que : \[r_n^2=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : \[-\dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.\] \item En déduire : \[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\suiten[r]$ converge vers $\sqrt{2}$. \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : \[r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}.\] \item On considère le programme suivant écrit en langage \textsf{Python} : \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center} def seuil() : n = 0 r = 1 while abs(r-sqrt(2)) > 10**(-4) r = (2+r)/(1+r) n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} (\texttt{abs} désigne la valeur absolue, \texttt{sqrt} la racine carrée et \texttt{10**(-4)} représente $10^{-4}$). La valeur de \texttt{n} renvoyée par ce programme est \texttt{5}. À quoi correspond-elle ? \end{enumerate} \end{enumerate}
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