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% bac2021gen-all-mars-sujet1-exo5.tex On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : $$f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}$$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$, on a : \[f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}.\] \item \begin{enumerate} \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=-\infty$. \item Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équation \mbox{$f(x)=\dfrac53$}. \end{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$, c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées. \end{enumerate}
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