% bac2021gen-all-mars-sujet1-exo4.tex La suite $\suiten$ est définie sur $\N$ par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}= \dfrac34 u_n+\dfrac14 n+1.$$ \begin{enumerate} \item Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible. \end{enumerate} L’extrait, reproduit ci-dessous, d’une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\suiten$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tableur[6]{A-B} \celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$} \celtxt*[align=center]{B}{1}{$u_n$} \celtxt*[align=center]{A}{2}{$0$} \celtxt*[align=center]{A}{3}{$1$} \celtxt*[align=center]{A}{4}{$2$} \celtxt*[align=center]{A}{5}{$3$} \celtxt*[align=center]{A}{6}{$4$} \celtxt*[align=center]{B}{2}{$1$} \celtxt*[align=center]{B}{3}{$1,75$} \celtxt*[align=center]{B}{4}{$2,5625$} \celtxt*[align=center]{B}{5}{$3,421875$} \celtxt*[align=center]{B}{6}{$4,31640625$} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule {\helvbx B3} de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\suiten$ dans la colonne {\helvbx B} ? \item Conjecturer le sens de variation de la suite $\suiten$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n+1$. \item En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\suiten$. \item Démontrer que : \[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\] \end{enumerate} \item On désigne par $\suiten[v]$ la suite définie sur $\N$ par $v_n= u_n-n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est géométrique de raison $\dfrac34$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\left(\dfrac34\right)^n+n$. \end{enumerate} \end{enumerate}