% bac2021gen-all-mars-sujet1-exo1.tex Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons : \begin{itemize} \item 10\,\% des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel 60\,\% d’entre eux sont finalement admis à l’école. \item Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle 20\,\% d’entre eux sont admis à l’école. \end{itemize} \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera : \begin{itemize} \item $D$ l’événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ; \item $A$ l’événement « le candidat a été admis à l’école » ; \item $\overline{A}$ et $\overline{D}$ les événements contraires des événements $D$ et $A$ respectivement. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l’école. \item Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est égale à $0,24$. \item On choisit au hasard un candidat admis à l’école. Quelle est la probabilité que son dossier n’ait pas été sélectionné ? \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} \begin{enumerate} \item On admet que la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à $0,24$. On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les sept tirés au sort. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ? \item Calculer la probabilité qu’un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l’école. On donnera une réponse arrondie au centième. \item Calculer la probabilité qu’au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième. \end{enumerate} \item Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul. On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres. \begin{enumerate} \item Donner l’expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu’aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l’école. \item À partir de quelle valeur de l’entier $n$ la probabilité qu’au moins un élève de ce lycée soit admis à l’école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ? \end{enumerate} \end{enumerate}