% bac2021gen-all-mars-sujet0-exo4.tex Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé : \begin{itemize} \item[$-$] la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ ; \item[$-$] la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $\left(\tfrac{1}{\e};\e\right)$ ; \item[$-$] la tangente $T_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ de coordonnées $(1;2)$. \end{itemize} La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $(3;0)$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;3)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=2cm,y=2cm,xmin=0,xmax=7.5,xgrille=0.5,xgrilles=0.5,ymin=-1,ymax=3.5,ygrille=0.5,ygrilles=0.5] \GrilleTikz[Affp=false] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0,Labelx=$x$,PosLabelx=above left,Labely=$y$,PosLabely=below right] ; \AxexTikz[Police=\small]{0,0.5,...,7} ; \AxeyTikz[Police=\small]{-0.5,0,...,3} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \draw[line width=1.25pt,red,samples=250,domain=0.1:7.5] plot (\x,{(2+ln(\x))/\x}) ; \draw[line width=1pt,blue] (0,2.718)--(7.5,2.718); \draw (6.5,2.718) node[below,blue,font=\large] {$T_A$} ; \draw[line width=1pt,purple] (0,3)--(4,-1); \draw (2.25,0.75) node[below,purple,font=\large] {$T_B$} ; \draw (5.25,0.7) node[below,red,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ; \foreach \Point/\Name/\Pos in {(0.368,2.718)/A/above right,(1,2)/B/above right} \filldraw \Point circle(3pt) node[\Pos] {\Name} ; \end{tikzpicture} \end{center} On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \medskip \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les valeurs de $f' \left( \dfrac{1}{\e}\right)$ et de $f'(1)$. \item En déduire une équation de la droite $T_B$. \end{enumerate} \textbf{Partie II} \medskip On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}. \]% \begin{enumerate} \item Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera. \item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0^+$, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item Montrer que, pour tout $x \in \intervOO{0}{+\infty}$, \[ f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}.\] \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. On admet que, pour tout $x \in \intervOO{0}{+\infty}$, \[ f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}. \] Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe. \end{enumerate}