% bac2021gen-all-mars-sujet0-exo3.tex Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : \begin{itemize} \item la formation avec conduite accompagnée ; \item la formation traditionnelle. \end{itemize} On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe : \begin{itemize} \item 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation. \item 225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation. \end{itemize} On interroge au hasard une personne du groupe considéré. On considère les événements suivants : \begin{itemize} \item $A$ : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ; \item $R_1$ : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ; \item $R_2$ : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ; \item $R_3$ : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item Modéliser la situation par un arbre pondéré. \textit{Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation. \item Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac13$. \item La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ? \end{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu'à sa réussite. Ainsi, $\left\lbrace X=1 \right\rbrace$ correspond à l’événement $R_1$. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \item On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les 300 du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les 300 personnes du groupe. On admet que la probabilité de l’événement $R_3$ est égale à $\dfrac16$. \begin{enumerate} \item Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à \mbox{$1-\left(\dfrac56\right)^n$}. On considère la fonction \textsf{Python} \texttt{seuil} ci-dessous, où \texttt{p} est un nombre réel appartenant à l'intervalle $\intervOO{0}{1}$. \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=6cm]{center} def seuil(p): n = 1 while 1-(5/6)**n <= p: n = n + 1 return n \end{CodePythonLstAlt} \item Quelle est la valeur renvoyée par la commande \texttt{seuil(0.9)} ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}