% bac2021gen-all-mars-sujet0-exo2.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1, le milieu $I$ de $[EF]$ et $J$ le symétrique de $E$ par rapport à $F$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm] \draw[thick] (0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--cycle ; \draw[thick] (5,0)--(6.5,1.8)--(6.5,6.8)--(5,5)--cycle; \draw[thick] (0,5)--(1.5,6.8)--(6.5,6.8); \draw[thick,dashed] (0,0)--(1.5,1.8)--(6.5,1.8) (1.5,1.8)--(1.5,6.8); \draw[thick,densely dotted] (5,5)--(10,5) ; \foreach \Point/\Name/\Pos in {(0,0)/A/below left,(5,0)/B/below right,(6.5,1.8)/C/above right,(1.5,1.8)/D/above right,(0,5)/E/above left,(5,5)/F/above left,(6.5,6.8)/G/above right,(1.5,6.8)/H/above right,(2.5,5)/I/above right,(10,5)/J/above right} \filldraw \Point circle(2pt) node[\Pos] {\Name} ; \end{tikzpicture} \end{center} Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE} \right)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $I$ et $J$. \item En déduire les coordonnées des vecteurs $\vect{DJ}$, $\vect{BI}$ et $\vect{BG}$. \item Montrer que $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BGI)$. \item Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est : $2x-y+z-2=0$. \end{enumerate} \item On note $d$ la droite passant par $F$ et orthogonale au plan $(BGI)$. \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. \item On considère le point $L$ de coordonnées $\left(\dfrac23;\dfrac16;\dfrac56\right)$. Montrer que le point $L$ est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$. \end{enumerate} \item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide est donné par la formule \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times \mathcal{B} \times h \] où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base. \begin{enumerate} \item Calculer le volume de la pyramide $FBGI$. \item En déduire l'aire du triangle $BGI$. \end{enumerate} \end{enumerate}