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%divers
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%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
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	{Probabilités / Loi binomiale},
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%--- Commandes de mise en page ---
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		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
			\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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		L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
		L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
		La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
		Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
	\end{tcolorbox}%

	\vspace*{0.5cm}

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\begin{document}

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\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{1cm}


\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak


\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1

\medskip

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

\begin{itemize}
	\item 60\,\% sont des véhicules tout-électrique ;
	\item 40\,\% sont des véhicules hybrides rechargeables.
\end{itemize}

75\,\% des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52\,\% des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.

\smallskip

On choisit un acheteur au hasard et on considère les événements suivants :

\begin{itemize}
	\item E : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
	\item B : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile ».
\end{itemize}

\textit{Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.}

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.
	
	\textit{On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.}
	\item Démontrer que $P(B) = 0,658$.
	\item Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique ?
	\item On choisit un échantillon de 20 acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de 20 acheteurs.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
		\item Calculer $P(X = 8)$.
		\item Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
		\item Calculer l’espérance de $X$.
		\item La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte \num{1200}\,€.
		
		En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de 20 véhicules ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2

\medskip

\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie $\R$ par $f(x)=\e^x+x$.
	
	\textbf{Affirmation A} : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :
	
	\begin{Centrage}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3,espcl=6]{$x$/0.8,variations de $f$/1.6}{$-\infty$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+\infty$}
		\end{tikzpicture}
	\end{Centrage}
	
	\textbf{Affirmation B} : L’équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\R$.
	\item \textbf{Affirmation C} : \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\frac13. \]
	\item On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par \[   k(x) = 1 + 2\e^{-x^2+1}.\]
	%
	\textbf{Affirmation D} : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$.
	\item On considère l’équation différentielle (E) : $3y'+y=1$.
	
	\textbf{Affirmation E} : La fonction $g$ définie sur $\R$ par \[ g(x)=4\e^{-\frac13x}+1 \]
	est solution de l’équation différentielle (E) avec $g(0) = 5$.
	\item \textbf{Affirmation F} : Une intégration par parties permet d’obtenir : \[ \int_0^1 x\,\e^{-x} \dx = 1-2\e^{-1}.\]
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3

\medskip

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-0.25\baselineskip]
%https://tex.stackexchange.com/questions/648153/how-to-create-triangular-pyramid-of-oranges-using-tikz/648243#648243
\tdplotsetmaincoords{67.5}{12.5}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4,tdplot_main_coords]
	\tikzstyle{ballstack} = [ball color=teal!50]
	\shade[ballstack] (-2.598, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (-0.866, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0.866, 3/2, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (2.598, 3/2, 0) circle (0.866 cm); 
	\shade[ballstack] (-1.732, 0, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0, 0, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (1.732, 0, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (-0.866, -3/2, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0.866, -3/2, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0, -3, 0) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0, 1, 1.414) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (-1.732, 1, 1.414) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (1.732, 1, 1.414) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (-0.866, -1/2, 1.414) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0.866, -1/2, 1.414) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0, -2, 1.414) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (-0.866, 1/2, 2.828) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0.866, 1/2, 2.828) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0, -1, 2.828) circle (0.866 cm);
	\shade[ballstack] (0, 0, 4.242) circle (0.866 cm);
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{itemize}
	\item le 1\up{er} étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;
	\item le 2\up{e} étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;
	\item le 3\up{e} étage possède 9 boules ;
	\item \ldots
	\item le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.
\end{itemize}

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n = n^2$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de 4 étages.
	\item On considère la suite $\Suite{S}$ définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $S_n = u_1+u_2+\ldots+u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
		\item On considère la fonction \texttt{pyramide} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage \textsf{Python}. Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul \texttt{n}, l’instruction \texttt{pyramide(n)} renvoie le nombre de boules composant une pyramide de \texttt{n} étages.
		
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=9cm]{center}
def pyramide(n) :
	S = 0
	for i in range(1, n+1) :
		S = ...
	return ...
\end{CodePythonLstAlt}
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$ : \[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)[2(n+1)+1]}{6}. \]
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[ S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]
	\end{enumerate}
	\item Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède 200 oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4

\medskip

On considère un cube $ABCDEFGH$ et l’espace est rapporté au repère orthonormal \RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}.

Pour tout réel $m$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : \[ K \CoordPtEsp{m}{0}{0} \text{ et } L \CoordPtEsp{1-m}{1}{1}. \]

\begin{Centrage}
	\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-5:0.9cm},UniteY={25:0.5cm},UniteZ={90:1cm}]
		\def\LCB{4.8}
		%placement des points avec labels
		\PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/\LCB,0,0/b C/\LCB,\LCB,0/d D/0,\LCB,0/hg E/0,0,\LCB/g F/\LCB,0,\LCB/bd G/\LCB,\LCB,\LCB/d H/0,\LCB,\LCB/h}
		\PlacePointsEspace{K/1.37,0,0/b L/3.43,\LCB,\LCB/h}
		%section
		\fill[orange,opacity=0.25] (E)--(L)--(C)--(K)--cycle ;
		\TraceSegmentsEspace[very thick,dashed,orange]{K/C C/L}
		\TraceSegmentsEspace[very thick,orange]{K/E E/L}
		%segments pointillés
		\TraceSegmentsEspace[very thick,dashed]{A/D D/C D/H}
		%segments pleins
		\TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C C/G G/H H/E E/A E/F B/F F/G}
		%Marques points
		\MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,K,L}
	\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
	\item Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L\CoordPtEsp{1}{1}{1}$ est confondu avec le point $G$, le
	point $K\CoordPtEsp{0}{0}{0}$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le vecteur $\Vecteur{DB} \CoordVecEsp{1}{-1}{0}$ est normal au plan $(GEA)$.
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On s’intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l’intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
		\item Justifier que $\Vecteur{KC}\cdot\Vecteur{KE}=m(m-1)$.
		\item Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m = 0$ ou $m = 1$.
	\end{enumerate}
	\item Dans cette question, $m=\frac12$. Ainsi $L$ a pour coordonnées \CoordPtEsp{\frac12}{1}{1} et $K$ a pour coordonnées \CoordPtEsp{\frac12}{0}{0}.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
		\item À l’aide de la question {3.(b)}, déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle $\widehat{CKE}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}