% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{logoetalab}

\newcommand{\session}{2022}
\newcommand{\annee}{2022}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Nouv.-Calédonie}
\newcommand{\jour}{27}
\newcommand{\mois}{Octobre}
\newcommand{\numsujet}{2}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}

\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{babel}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 22-MATJ2NC1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\e{\text{e}}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
	fleche/.style = {edge={thick}},
	aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
	bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}


%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
\usepackage{cabin}
\usepackage{twemojis}
\usepackage{customenvs}

%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{22-MATJ2NC1}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{7,7,7,7}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
	{Fonctions / suites},
	{Fonctions / fonction logarithme},
	{Géométrie dans l'espace},
	{Suites / fonctions / primitives}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
			\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
		}%

		\begin{tcolorbox}[width=\linewidth,colframe=orange!70!black,colback=orange!5,fontupper=\scriptsize\cabin,size=small]
			Le candidat choisit \textbf{3 exercices parmi les 4} et ne doit traiter que ces 3 exercices.\\
			Chaque exercice est noté sur \textbf{7 points} \textit{(le total sera ramené sur 20 points)}.
		\end{tcolorbox}%
	\end{tcolorbox}%
	\vspace*{0.5cm}
	\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
	\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
		L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
		L'usage de la calculatrice sans mémoire \guillemotleft~type collège~\guillemotright{} est autorisé.\\
		La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
		Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
	\end{tcolorbox}%
	\vspace*{0.5cm}
	\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}


\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{nouvcal}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{0.5cm}


\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak


\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1

\medskip

Au basket-bail, il existe deux sortes de tir:

\begin{itemize}
	\item les tirs à deux points.
	
	\hspace{4mm}Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s'ils sont réussis.
	\item les tirs à trois points.
	
	\hspace{4mm}Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s'ils sont réussis.
\end{itemize}

Stéphanie s'entraîne au tir. On dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
	\item Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60\,\% sont réussis.
	\item Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35\,\% sont réussis.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Stéphanie réalise un tir. 
	
	On considère les évènements suivants :
	%
	\begin{itemize}
		\item[] $D$ : \og Il s'agit d'un tir à deux points \fg.
		\item[] $R$ : \og le tir est réussi \fg.
	\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
		\item Calculer la probabilité $p\left(\overline{D} \cap R\right)$.
		\item Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,4125$.
		\item Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.
	\end{enumerate}
	\item Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.
	
	On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
		\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.
		\item Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.
	\end{enumerate}	
	\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	
	Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points. 
	
	On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu'elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.
	
	Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[f(x) = x \ln (x) - x - 2.\]
%
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, on a $f'(x) = \ln(x)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point
		d'abscisse $x = \e$.
		\item Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
		\item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
		\item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.
	\end{enumerate}
	\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $\alpha$ cette solution.
		\item Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle $\intervOO{4,3}{4,4}$.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
	\end{enumerate}
	\item On considère la fonction \texttt{seuil} suivante écrite dans le langage \textsf{Python} :
	
	On rappelle que la fonction \texttt{log} du module \texttt{math} (que l'on suppose importé)
	désigne la fonction logarithme népérien $\ln$.
	
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def seuil(pas) :
	x = 4.3
	while x*log(x) - x - 2 < 0 :
		x = x + pas
	return x
\end{CodePythonLstAlt}
	
	Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction \texttt{seuil(0.01)} ?
	
	Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3

\medskip

\begin{wrapstuff}[r,leftsep=0.75em,rightsep=0.75em,top=1]
	\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.85}]
		\draw[semithick] (0.3,3.9)--(0.3,0.7)--(2.7,0.3)--(2.7,3.5)--cycle;%GCBF
		\draw[semithick] (2.7,0.3)--(6,1.1)--(6,4.3)--(2.7,3.5);%BAEF
		\draw[thick,dotted] (0.3,0.7)--(3.6,1.5)--(6,1.1);%CDA
		\draw[thick,dotted] (3.6,1.5)--(3.6,4.7)--(3.1,5.6);%DHS
		\draw[thick,dotted] (0.3,3.9)--(3.6,4.7)--(6,4.3);%GHE
		\draw[semithick] (6,4.3)--(3.1,5.6)--(2.7,3.5);%ESF
		\draw[semithick] (3.1,5.6)--(0.3,3.9);%SG
		\draw[semithick] (4.3,4.8)--(4.3,5.35);%PQ
		\draw[thick,->,>=latex] (3.6,1.5)--(3.05,1.37);
		\draw[thick,->,>=latex] (3.6,1.5)--(4.2,1.4);
		\draw[thick,->,>=latex] (3.6,1.5)--(3.6,2.3);
		%labels
		\draw(6,1.1) node[right] {A} ;
		\draw(2.7,0.3) node[below] {B} ;
		\draw(0.3,0.7) node[below left] {C} ;
		\draw(3.6,1.5) node[below] {D} ;
		\draw(6,4.3) node[above right] {E} ;
		\draw(2.7,3.5) node[below left] {F} ;
		\draw(0.3,3.9) node[left] {G} ;
		\draw(3.6,4.7) node[above right] {H} ;
		\draw(3.1,5.6) node[above] {S} ;
		\draw(4.3,4.8) node[below] {P} ;
		\draw(4.3,5.35) node[above] {Q} ;
		\draw(3.05,1.37) node[above] {I} ;
		\draw(4.2,0.9) node[above right] {J} ;
		\draw(3.6,2.3) node[right] {K} ;
		\draw(3.32,1.42) node[below] {$\vect{\imath}$} ;
		\draw(3.9,1.3) node[above] {$\vect{\jmath}$} ;
		\draw(3.6,1.9) node[left] {$\vect{k}$} ;
	\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d'une pyramide $EFGHS$.

On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$. 

Soient les points $I$, $J$ et $K$ tels que :

\medskip

\hfill$\vect{DI} = \dfrac16\vect{DA}$ ; $\vect{DJ} = \dfrac14\vect{DA}$ et $\vect{DK} = \dfrac14\vect{DH}$.\hfill~

\medskip

On note $\vect{\imath} = \vect{DI}$, $\vect{\jmath} = \vect{DJ}$ et $\vect{k} = \vect{DK}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(D;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\, \vect{k}\right)$.

On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3;2;6)$.

\begin{enumerate}
	\item Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.
	\item Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
	
	On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule : \[\mathcal{V} = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times  \text{hauteur}.\]
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y + z - 8 = 0$.
	\end{enumerate}
	\item On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$. On dispose des données suivantes :
	
	\begin{itemize}
		\item le point $P$ appartient au plan $(EFS)$ ;
		\item le point $Q$ a pour coordonnées $(2;3;5,5)$ ;
		\item la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vect{k}$.
	\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est : \[ \begin{dcases}  x=2 \\ y = 3 \\ z=5,5+t \end{dcases} \quad (t \in \R).\]
		\item En déduire les coordonnées du point $P$.
		\item En déduire la longueur $PQ$ de l'antenne.
		
		Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{dcases}  x=-4+6s \\ y = \phantom{-}7-4s \\ z=\phantom{-}2+4s \end{dcases} \quad (s \in \R).\]%
		Déterminer la position relative des droites (PQ) et $\Delta$.
		
		L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment $[PQ]$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
	Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
	Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
	Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
	Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :\[u_n  = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.\]
	%
	On peut affirmer que :
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$. &\pta{b}~~la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $-\infty$.\\
		\pta{c}~~la suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite. &\pta{d}~~la suite $\left(u_n\right)$ converge.
	\end{tblr}
	
	\begin{center} \decosix \decosix \decosix  \end{center}
\end{enumerate}

Dans les questions 2. et 3., on considère deux suites $\left(v_n\right)$  et $\left(w_n\right)$  vérifiant la relation : \[w_n = \e^{- 2v_n} + 2.\]
%
\begin{enumerate}[resume]
	\item  Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln (a)$.
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~$w_0 = \dfrac{1}{a^2}  +2$ &\pta{b}~~$w_0 = \dfrac{1}{a^2  +2}$\\
		\pta{c}~~$w_0 = -2a +2$ &\pta{d}~~$w_0 = \dfrac{1}{- 2a} + 2$
	\end{tblr}
	\item On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~décroissante et majorée par 3. &\pta{b}~~décroissante et minorée par 2.\\
		\pta{c}~~croissante et majorée par 3. &\pta{d}~~croissante et minorée par 2.
	\end{tblr}
	\item On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie : \[a_0 = 2 \text{ et, pour tout entier naturel }n, \:a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.\]
	%
	Pour tout entier naturel $n$,on a :
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~$a_n = 4 \times \left(\dfrac13\right)^n - 2$ &\pta{b}~~$a_n = - \dfrac{2}{3^n} + 4$\\
		\pta{c}~~$a_n = 4 - \left(\dfrac13\right)^n$ &\pta{d}~~$a_n = 2 \times \left(\dfrac13\right)^n + \dfrac{8n}{3}$ \\
	\end{tblr}
	\item On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a :  \[b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).\]
	%
	On peut affirmer que :
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~la suite $\left(b_n\right)$ est croissante. &\pta{b}~~la suite $\left(b_n\right)$ est décroissante.\\
		\pta{c}~~la suite $\left(b_n\right)$ n'est pas monotone. &\pta{d}~~Le sens de variation de la suite $\left(b_n\right)$ dépend de $b_0$.
	\end{tblr}
	\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[g(x) = \dfrac{\e^x}{x}.\]
	%
	On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
	
	La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~une asymptote verticale et une asymptote horizontale. &\pta{b}~~une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.\\
		\pta{c}~~aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale. &\pta{d}~~aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
	\end{tblr}
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x\e^{x^2+1}.\]
	%
	Soit $F$ une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :
	
	\smallskip
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[m]X[m]}}
		\pta{a}~~$F(x) = \dfrac12x^2\e^{x^2+1}$ &\pta{b}~~$F(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\e^{x^2+1}$ \\
		\pta{c}~~$F(x) = \e^{x^2+1}$ &\pta{d}~~$F(x) = \dfrac12\e^{x^2+1}$
	\end{tblr}
\end{enumerate}

\end{document}