% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex

\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{logoetalab}

\newcommand{\session}{2022}
\newcommand{\annee}{2022}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{5}
\newcommand{\mois}{Mai}
\newcommand{\numsujet}{2}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}

\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{babel}

\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 22-MATJ2PO1}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\newcommand\e{\text{e}}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
	fleche/.style = {edge={thick}},
	aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
	bproba/.style = {edge label = {node[below=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids en-dessous
}


%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
\usepackage{cabin}
\usepackage{twemojis}
\usepackage{customenvs}

%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{22-MATJ2PO1}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{7,7,7,7}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
	{Fonctions / primitives / probabilités},
	{Probabilités},
	{Suites / fonctions},
	{Géométrie dans le plan / dans l'espace}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}

%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
	\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
		\foreach \i in {1,...,#1}{%
			\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
			\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
		}%

		\begin{tcolorbox}[width=\linewidth,colframe=orange!70!black,colback=orange!5,fontupper=\scriptsize\cabin,size=small]
			Le candidat choisit \textbf{3 exercices parmi les 4} et ne doit traiter que ces 3 exercices.\\
			Chaque exercice est noté sur \textbf{7 points} \textit{(le total sera ramené sur 20 points)}.
		\end{tcolorbox}%
	\end{tcolorbox}%
	\vspace*{0.5cm}
	\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
	\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
		L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
		L'usage de la calculatrice sans mémoire \guillemotleft~type collège~\guillemotright{} est autorisé.\\
		La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
		Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
	\end{tcolorbox}%
	\vspace*{0.5cm}
	\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}


\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}

\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}

\vspace{0.5cm}


\sujetbaclabelexos{4}

\pagebreak


\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
	Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
	Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse
	choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x)=x\,\ln(x)-x+1$.
	
	Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~$\ln(x)$&(b)~~$\dfrac{1}{x}-1$&(c)~~$\ln(x)-2$&(d)~~$\ln(x)-1$
	\end{tblr}
	\item On considère la fonction $g$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $g(x) = x^2 \left[1-\ln(x)\right]$.
	
	Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
		(a)~~$\lim_{x \to 0} g(x)=+\infty$&(b)~~$\lim_{x \to 0} g(x)=-\infty$\\
		(c)~~$\lim_{x \to 0} g(x)=0$&(d)~~{La fonction $g$ n'admet pas de limite en 0}
	\end{tblr}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-0,9x^2-0,1x$.
	
	Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$ est :
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~$0$&(b)~~$1$&(c)~~$2$&(d)~~$3$
	\end{tblr}
	\item Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\R$, et si $k$ est la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$
	de $k$ est définie sur $\R$ par :
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~$K(x)=H(2x)$&(b)~~$K(x)=2H(2x)$&(c)~~$K(x)=\frac12H(2x)$&(d)~~$K(x)=2H(x)$
	\end{tblr}
	\item L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\R$ par \mbox{$f(x) = x\,\e^{x}$} est :
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~$y=\e\,x+\e$&(b)~~$y=2\e\,x-\e$&(c)~~$y=2\e\,x+\e$&(d)~~$y=\e\,x$
	\end{tblr}
	\item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $(0,2)^n < 0,001$ sont tous les
	nombres entiers $n$ tels que 
	
	\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
		(a)~~$n \leqslant 4$&(b)~~$n \leqslant 5$&(c)~~$n \geqslant 4$&(d)~~$n \leqslant 5$
	\end{tblr}
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2

\medskip

Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que :
%
\begin{itemize}
	\item 20\,\% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
	\item 2\,\% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception; 
	\item 10\,\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception.
\end{itemize}

L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants : 

\begin{itemize}
	\item $C$ : « le casque est contrefait » ;
	\item $D$ : « le casque présente un défaut de conception » ;
	\item $\overline{C}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$.
\end{itemize}

Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.

\medskip

\textbf{\large Partie 1}

\begin{enumerate}
	\item Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. 
	\item Démontrer que $P(D)=0,036$.
	\item Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ?
\end{enumerate}

\textbf{\large Partie 2}

\medskip

On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience 
à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

\begin{enumerate}
	\item Dans cette question, $n=35$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B} (n;p)$ où $n=35$ et $p=0,036$.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
		\item Calculer $P(X \leqslant 1)$.
	\end{enumerate}
	\item Dans cette question, $n$ n'est pas fixé.
	
	Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,992$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3

\medskip

Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation
conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $\suiten$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ \begin{dcases} u_0 = 40 \\ u_{n+1} = 0,008u_n(200-u_n) \end{dcases} \]%
où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021+n)$.

\begin{enumerate}
	\item Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022.
\end{enumerate}

On considère la fonction $f$ définie sue $\intervFF{0}{100}$ par $f(x)=0,008x(200-x)$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Résoudre dans l'intervalle $\intervFF{0}{100}$ l'équation $f(x)= x$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\intervFF{0}{100}$ et dresser son tableau de variations.
		\item En remarquant que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[ 0 \leqslant u_n \leq slantu_{n+1} \leqslant 100.\]
		\item En déduire que la suite$\suiten$ est convergente.
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\suiten$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	\item On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def seuil(p) : 
	n = 0
	u = 40
	while u < p :
		n = n+1
		u = 0.008*u*(200-u)
	return(n+2021)
\end{CodePythonLstAlt}
	
	L'exécution de \texttt{seuil(100)} ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à
	l'aide de la question 3..
\end{enumerate}

\pagebreak

\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE} \right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=5cm,y=5cm,line join=bevel]
		\PaveTikz[Aff,Cube,Largeur=1,Angle=20,Fuite=0.33,Epaisseur={very thick}]
		\draw[thick] (0,0)--(0.5,1)--(G) ;
		\draw[thick,dotted] (A)--(G) ;
		\foreach \i in {A,B,C,D,E,F,G,H} \filldraw (\i) circle[radius=2pt] ;
		\filldraw ($(A)!0.5!(H)$) circle[radius=2pt] node[left] {K} ;
		\filldraw ($(E)!0.5!(F)$) circle[radius=2pt] node[above left] {I} ;
		\filldraw ($(A)!0.5!(G)$) circle[radius=2pt] node[below] {O} ;
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\emph{Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.}

\medskip

\textbf{\large Partie 1. Première méthode}

\begin{enumerate}
	\item Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.
	
	On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\frac12;0;1\right)$ et $K\left(0;\frac12;\frac12\right)$.
	\item Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
	\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x-y-z=0$.
	\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.
	\item En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour
	coordonnées $K\left(\frac13;\frac13;\frac13\right)$.
	\item Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
\end{enumerate}

\textbf{\large Partie 2. Deuxième méthode}

\medskip

\emph{On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V}=\dfrac13 \times b \times h$ où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
		\item En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.
	\end{enumerate}
	\item On admet que $AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG=\sqrt{3}$.
	
	Démontrer que l'aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d'aire.
	\item En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
\end{enumerate}

\end{document}